Question

（2013•汕尾二模）已知数列{a_n}的首项a₁＞0，an+1=

3an

2an+1

（Ⅰ）若a1=

3

5

，请直接写出a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若a1=

3

5

，求证：{

1

an

-1}是等比数列并求出{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a_n+1＞a_n对一切n∈N₊都成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n取1，2，即可求得a₂，a₃的值；
（Ⅱ）an+1=

3an

2an+1

，两边取倒数，可得数列{

1

an

-1}是首项为

2

3

，公比为

1

3

的等比数列，由此可得{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a_n+1＞a_n对一切n∈N₊都成立，可得

1

a1

-1＞0，又a₁＞0，即可求a₁的取值范围．

解答：（Ⅰ）解：∵a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，∴a2=

3a1

2a1+1

=

9

11

，a，3=

3a2

2a2+1

=

27

29

…（2分）
（Ⅱ）证明：由题意知a_n＞0，

1

an+1

=

2an+1

3an

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
∵

1

a1

-1=

2

3

  …（4分）
所以数列{

1

an

-1}是首项为

2

3

，公比为

1

3

的等比数列…（5分）
∴

1

an

-1=

2

3

(

1

3

)n-1=

2

3n

，
∴an=

3n

3n+2

   …（7分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：

1

an

-1=(

1

a1

-1)(

1

3

)n-1即

1

an

=(

1

a1

-1)(

1

3

)n-1+1…（9分）
由a₁＞0，an+1=

3an

2an+1

知a_n＞0，故a_n+1＞a_n，得

1

an+1

＜

1

an

…（11分）
即(

1

a1

-1)(

1

3

)n+1＜(

1

a1

-1)(

1

3

)n-1+1得

1

a1

-1＞0，…（13分）
又a₁＞0，则0＜a₁＜1…（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．