Question

设函数y=f（x）且lg（lgy）=lg（3x）+lg（3-x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域．
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化，可得函数的解析式，利用真数大于0，可得函数的定义域；
（Ⅱ）根据定义域，确定指数的范围，再利用指数函数的单调性，可求f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵lg（lgy）=lg（3x）+lg（3-x）．
∴lg（lgy）=lg[3x（3-x）]
∴lgy=3x（3-x）
∴y=10^3x（3-x）
∵

3x＞0 3-x＞0

，∴0＜x＜3，即函数的定义域为（0，3）；
（Ⅱ）令t=3x（3-x）=-3[（x-

3

2

）²-

9

4

]
∵x∈（0，3），∴t∈（0，

27

4

]
∴10^t∈(1，10

27

4

]
∴函数的值域为(1，10

27

4

]．

点评：本题考查对数的运算法则，考查函数的解析式与值域，正确运用对数的运算法则是关键．