Question

（2013•黄冈模拟）若直线x=my-1与圆C：x²+y²+mx+ny+p=O 交于 A，B两点，且A，B两点关于直线y=x对称，则实数P的取值范围为

(-∞，-

3

2

)

．

Answer 1

分析：根据圆的性质，得直线x=my-1与直线y=x垂直且圆心C，在直线y=x上，由此解出m=n=-1，从而得到直线和圆的方程，再由圆心C到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式即可算出实数p的取值范围．

解答：解：根据题意，由于直线x=my-1与圆C：x²+y²+mx+ny+p=O交于 A，B两点，且A，B两点关于直线y=x对称，
则可知直线AB的斜率为-1，故可知m=-1，∴圆心C（-

m

2

，-

n

2

）在直线y=x上，可得m=n=-1．
并且中点坐标在y=x上，联立方程组

y=x x=my-1

，得到交点横坐标为x=

1

m-1

=-

1

2

，则y=

1

m-1

=-

1

2

，
则该点(-

1

2

，-

1

2

)在圆内部，圆C：x²+y²-x-y+p=0，圆心C(-

1

2

，-

1

2

)，半径R=

1 2 -p

∵直线x+y+1=0与圆C相交，
∴

| 1 2 + 1 2 +1|

2

＜

1 2 -p

即

2

＜

1 2 -p

，解之得p＜-

3

2

，
则实数P的取值范围为(-∞，-

3

2

)．
故答案为：(-∞，-

3

2

)．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．