Question

已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|，
（Ⅰ）当a=2时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2代入，可得f（x）=

x(x-2)   x≥2 x(2-x)   x＜2

，由二次函数的知识可得；
（Ⅱ）因为a＞2，当x∈[1，2]时，f（x）=x（a-x）=-(x-

a

2

)2+

a2

4

，由二次函数的对称性和单调性，分类讨论可得答案．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x-2|=

x(x-2)   x≥2 x(2-x)   x＜2

，
由二次函数的知识可知，单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）；
（Ⅱ）因为a＞2，当x∈[1，2]时，f（x）=x（a-x）=-(x-

a

2

)2+

a2

4

，
当1＜

a

2

≤

3

2

，即2＜a≤3时，f（x）_min=f（2）=2a-4，
当

a

2

＞

3

2

，即a＞3时，f（x）_min=f（1）=a-1
故f（x）_min=

2a-4      2＜a≤3 a-1         a＞3

点评：本题考查函数的单调性的判断与证明，涉及二次函数在闭区间的最值与分类讨论的思想，属基础题．