Question

（2009•荆州模拟）工厂的设备使有一段时间后，需要更新．但若更新过早，老设备的生产潜力未得以完全发挥就抛弃，易造成损失；若更新过晚，老设备生产效率低下，维修费用昂贵，也会造成损失，现有一台阶值8000元的设备，第一年的维修、燃料及动力消耗费用为320元，以后每一年比上一年增加320元，假定这台设备报废后余值为0，要使工厂为这台设备支付的平均费用最小，这台设备应在使用多少年后更新？

Answer 1

分析：设这台设备使用x年后要更新，这这x年的平均费用为

8000+ 320x(x+1) 2

x

=

8000

x

+160x+160，利用基本不等式求得它的最小值，以及此时x的值．

解答：解：设这台设备使用x年后要更新，这这x年的总费用为8000+320（1+2+3+…+x）=8000+

320x(x+1)

2

，
平均费用为

8000+ 320x(x+1) 2

x

=

8000

x

+160x+160≥2

8000 x •160x

+160=160

2

+160，
当且仅当

8000

x

=160x，即 x=

50

≈7 时，取等号．
故使用7年更新，每年的平均费用最低．

点评：本题主要考查基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．