Question

已知等比数列{a_n}满足：2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，根据题意和等比数列的通项公式列出方程，求出首项和公比，代入等比数列的通项公式即可；
（2）由（1）和条件求出b_n=n•2ⁿ，利用错位相减可求数列的和．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∵2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴

2a1+a1q2=3a1q 2(a1q2+2)=a1q+a1q3

，
由a₁≠0得，解得a₁=2，q=2，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ，
（2）由（1）得，b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ
∴s_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ
2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴s_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，等差数列的性质，以及错位相减求数列的和的应用，考查了计算能力．