Question

定义在R上的函数y=f（x）满足f(0)=0，f(x)+f(1-x)=1，f(

x

5

)=

1

2

f(x)，且当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），则f(

1

2013

)=

 

．

Answer 1

分析：根据恒等式f（x）+f（1-x）=1，和f（0）=0，赋值求出f（1），进而求得f（

1

2

），然后利用f（

1

2

）的值和f（

x

5

）=

1

2

f（x），依次赋值，确定出f（

1

3125

）的值，同理，确定出f（

1

1250

），再根据题意判断出函数在[0，1]上的单调性，从而限制了f（

1

2013

）的范围，即可得到f（

1

2013

）的值．

解答：解：∵f（x）+f（1-x）=1，
令x=0，可得f（0）+f（1）=1，又f（0）=0，
∴f（1）=1，
令x=

1

2

，可得f（

1

2

）+f（

1

2

）=1，则f（

1

2

）=

1

2

，
∵f（

x

5

）=

1

2

f（x），
∴f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

，
f（

1

25

）=

1

2

f（

1

5

）=

1

4

，
f（

1

125

）=

1

2

f（

1

25

）=

1

8

，
f（

1

625

）=

1

2

f（

1

125

）=

1

16

，
f（

1

3125

）=

1

2

f（

1

625

）=

1

32

，
再根据f（

x

5

）=

1

2

f（x），可得
f（

1

10

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，
f（

1

50

）=

1

2

f（

1

10

）=

1

8

，
f（

1

250

）=

1

2

f（

1

50

）=

1

16

，
f（

1

1250

）=

1

2

f（

1

250

）=

1

32

，
∵当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），
∴f（x）在[0，1]上单调递增，
由f（

1

3125

）≤f（

1

2013

）≤f（

1

1250

），且f（

1

3125

）=f（

1

1250

）=

1

32

，
∴f（

1

2013

）=

1

32

．
故答案为：

1

32

．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，利用赋值法求解抽象函数的函数值，涉及了函数单调性的定义，证明函数的单调性要抓住函数单调性的定义．本题的关键是利用函数的单调性得到函数值得限制范围，从而能确定函数的值．属于中档题．