题目内容
13、定义在R上的函数y=f（x）满足：f（x）=f（4-x），且f（x-2）+f（2-x）=0，则f（508）=
0
．分析：先由f（x-2）+f（2-x）=0可以得到f（4-x）+f（x-4）=0，又因为f（x）=f（4-x），所以f（x）=f（x-8），所以f（508）=f（0），求出f（0）即可．
解答：解：f（2-x）+f（x-2）=0中，令x=t-2
则f（2-（t-2））+f（t-2-2）=0 即 f（4-t）+f（t-4）=0 即 f（4-x）+f（x-4）=0
由于f（x）=f（4-x）
则f（x）+f（x-4）=0
所以f（x）=-f（x-4）=-[-f（x-4-4）]=f（x-8）
所以f（508）=f（500）=f（492）=…=f（0）
这是因为508能够被8整除．
又因为在f（2-x）+f（x-2）=0中，令x=2，
2f（0）=0，f（0）=0
所以f（508）=0
故答案为：0．
则f（2-（t-2））+f（t-2-2）=0 即 f（4-t）+f（t-4）=0 即 f（4-x）+f（x-4）=0
由于f（x）=f（4-x）
则f（x）+f（x-4）=0
所以f（x）=-f（x-4）=-[-f（x-4-4）]=f（x-8）
所以f（508）=f（500）=f（492）=…=f（0）
这是因为508能够被8整除．
又因为在f（2-x）+f（x-2）=0中，令x=2，
2f（0）=0，f（0）=0
所以f（508）=0
故答案为：0．
点评：本题主要考查函数的对称性有关问题．
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