题目内容

13、定义在R上的函数y=f(x)满足:f(x)=f(4-x),且f(x-2)+f(2-x)=0,则f(508)=
0
分析:先由f(x-2)+f(2-x)=0可以得到f(4-x)+f(x-4)=0,又因为f(x)=f(4-x),所以f(x)=f(x-8),所以f(508)=f(0),求出f(0)即可.
解答:解:f(2-x)+f(x-2)=0中,令x=t-2
则f(2-(t-2))+f(t-2-2)=0  即  f(4-t)+f(t-4)=0 即 f(4-x)+f(x-4)=0
由于f(x)=f(4-x)
则f(x)+f(x-4)=0
所以f(x)=-f(x-4)=-[-f(x-4-4)]=f(x-8)
所以f(508)=f(500)=f(492)=…=f(0)
这是因为508能够被8整除.
又因为在f(2-x)+f(x-2)=0中,令x=2,
2f(0)=0,f(0)=0
所以f(508)=0
故答案为:0.
点评:本题主要考查函数的对称性有关问题.
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