Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为a，则点C₁到平面A₁BD的距离是（　　）

• A、

  2

  2

  a
• B、

  3

  3

  a
• C、

  3

  a
• D、

  2 3

  3

  a

Answer 1

分析：利用割补法易得：V _C1-A1BD，再结合三棱锥的体积法即可求得点C₁到平面A₁BD的距离．

解答：解：构造三棱锥C₁-A₁DB，其体积为：
∵V=V_正方体-4V _A-A1BD=a³-4×

1

6

a³=

1

3

a³，
设点C₁到平面A₁BD的距离是h，
又三棱锥C₁-A₁DB的体积=

1

3

×S_A1BD×h，
∴

1

3

a³=

1

3

×S_A1BD×h，
∴h=

2 3 a

3

．
则点C₁到平面A₁BD的距离是

2 3 a

3

．
故选D．

点评：本小题主要考查空间线面关系、点、线、面间的距离计算、几何体的体积等知识，空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．