Question

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°．设=，=，若=m+n，则m-n=    ．

Answer 1

【答案】分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线p方程和AC的中垂线q的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求m和n的值．
解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （2，0），C（-，），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线p：x=1 上，又在AC的中垂线 q 上，
AC的中点（-，），AC的斜率为-，
∴中垂线q的方程为 y-=-（x+）．
把直线p和q的方程联立方程组解得△ABC的外心O（1，），
由条件=m+n，
得（1，）=m（2，0）+n（-，）=（2m-n，n ），
∴2m-n=1，n=，
∴m=，n=，
∴m-n=-
故答案为：-
点评：本题主要考查了求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值，同时考查了运算求解的能力，属中档题．