Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+a_n-1=4n（n≥2）
（Ⅰ）求证：数列{a_n}的奇数项，偶数项均构成等差数列；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用a_n+a_n-1=4n（n≥2），a_n+1+a_n=4（n+1），可得a_n+1-a_n-1=4．（n≥2）．即可证明．
（II）由（1）可得：（a_n+1-a_n）=（a_n-a_n-1）=2，（n≥2）．利用等差数列的定义及其通项公式即可得出．
（III）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （I）证明：∵a_n+a_n-1=4n（n≥2），a₁=3，
∴a_n+1+a_n=4（n+1），a₁+a₂=8，即a₂=5．
∴a_n+1-a_n-1=4．（n≥2）．
∴数列{a_n}的奇数项，偶数项均构成等差数列，公差都为4，其首项分别为3，5．
（II）解：由（1）可得：
（a_n+1-a_n）=（a_n-a_n-1）=2，（n≥2）．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为3，公差为2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（III）解：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{n}{6n+9}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．