Question

【题目】

已知函数（），记的导函数为．

（1）证明：当时，在上单调递增；

（2）若在处取得极小值，求的取值范围；

（3）设函数的定义域为，区间，若在上是单调函数，

则称在上广义单调．试证明函数在上广义单调．

Answer 1

【答案】(1) 详见解析;(2) ;(3) 详见解析．

【解析】（1）试题分析：（1）当时，，

所以，即， 所以，

所以在上单调递增（2）因为，所以．① 当时，，所以函数在上单调递增．

若，则；若，则，

所以的单调增区间是，单调减区间是，

所以在处取得极小值，符合题意． ② 当时，，所以函数在上单调递减．若，则；若，则，所以的单调减区间是，单调增区间是，所以在处取得极大值，不符合题意． ③ 当时，，使得，即，但当时，，即，所以函数在上单调递减，所以，即函数在单调递减，不符合题意．（3）记（），

① 若，注意到，则，即． 当时，．所以，函数在上单调递增．

② 若，当x>1时，<0．

所以，函数在上单调递减，

试题解析：

（1）当时，，

所以，即， 所以，

所以在上单调递增．

（2）因为，所以．

① 当时，，所以函数在上单调递增．

若，则；若，则，

所以的单调增区间是，单调减区间是，

所以在处取得极小值，符合题意．

② 当时，，所以函数在上单调递减．

若，则；若，则，

所以的单调减区间是，单调增区间是，

所以在处取得极大值，不符合题意．

③ 当时，，使得，即，

但当时，，即，

所以函数在上单调递减，所以，

即函数在单调递减，不符合题意．

综上所述，的取值范围是．

（3）记（），

① 若，注意到，则，即．

当时，

．

所以，函数在上单调递增．

② 若，当x>1时，<0．

所以，函数在上单调递减，

综上所述，函数在区间上广义单调．