题目内容

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（Ⅰ）若向量 $数学公式$ ∥ $数学公式$ 求满足 $数学公式$ 的角B的值；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，试用角B表示角A与C；
（Ⅲ）若 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，求cosB的值．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴b²=ac，
∴ $\text{[math]}$ ，
当且仅当a=c时取等号，
∵0＜B＜π，∴ $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$
得： $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）在△ABC中，∵ $\text{[math]}$
（Ⅲ）∵ $\text{[math]}$ ，
∴a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB，
由 $\text{[math]}$ 及（Ⅱ）的结论得：
∴ $\text{[math]}$ ，
展开化简，得 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据所给的向量的坐标和向量的平行关系，写出三条边的关系，代入角B的余弦定理，利用均值不等式表示出角B的余弦的取值范围，根据 $\text{[math]}$ 求角B的值．
（Ⅱ）根据角A与角B的差是 $\text{[math]}$ ，还有两角之和是π-B，得到角A和角B的关系，即得到关于他们的二元一次方程，解方程组得到结果．本题只起到一个铺垫作用．
（Ⅲ）根据两个向量的数量积的值，得到边之间的关系，a+c=2b，利用正弦定理把变化为角和第二问所得的结论，展开整理，得到关于角B的三角函数值．
点评：本题考查平面向量数量积的运算，正弦定理和余弦定理，同角的三角函数关系，是一个综合题，也是近几年经常出现的一种问题．