Question

已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是(0，5)，且f(x)在区间[－1，4]上的最大值是12．

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在自然数m，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：(1)∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0，5)，∴可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)．

　　∴f(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a．

　　由已知，得6a＝12．∴a＝2．

　　∴f(x)＝2x(x－5)＝2x²－10x(x∈R)．

　　(2)方程f(x)＋＝0等价于方程2x³－10x²＋37＝0．

　　设h(x)＝2x³－10x²＋37，

　　则(x)＝6x²－20x＝2x(3x－10)．

　　当x∈(0，)时，(x)＜0，h(x)是减函数；

　　当x∈(，＋∞)时，(x)＞0，h(x)是增函数．

　　∵h(3)＝1＞0，h()＝，h(4)＝5＞0，

　　∴方程h(x)＝0在区间(3，)，(，4)内分别有唯一实数根，而在区间(0，3)，(4，＋∞)内没有实数根．

　　∴存在唯一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根．