Question

已知函数f（x）= （b＜0＝的值域是［1，3］，

   （1）求b、c的值；

   （2）判断函数F（x）=，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；

Answer 1

解析：（1）设y=，则（y－2）x²－bx+y－c=0                                                               ①

∵x∈R，∴①的判别式Δ≥0，即 b²－4（y－2）（y－c）≥0，

即4y²－4（2+c）y+8c+b²≤0                                                                                                                               ②

由条件知，不等式②的解集是［1，3］

∴1，3是方程4y²－4（2+c）y+8c+b²=0的两根

∴c=2，b=－2，b=2（舍）

   （2）任取x₁，x₂∈［－1，1］，且x₂＞x₁，则x₂－x₁＞0，且

（x₂－x₁）（1－x₁x₂）＞0，∴f（x₂）－f（x₁）=－<0，

∴f（x₂）<f（x₁），lgf（x₂）<lgf（x₁），即F（x₂）<F（x₁）∴F（x）为减函数．