Question

（2013•青浦区一模）如图已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求
（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四棱锥P-ABCD的表面积．

Answer 1

分析：（1）解法 一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，可得AN

∥

.

CM，于是四边形AMCN是平行四边形，可得CN∥AM，因此∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角，利用直角三角形的边角关系求出即可．
解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得出异面直线所成的角；
（2）由PA垂直于底面，利用线面垂直的性质定理可得PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，再利用线面垂直的判定定理可得BC⊥PB；同理CD⊥PD，Rt△PBC≌Rt△PAD，利用直角三角形的面积计算公式分别计算即可．

解答：解：（1）解法 一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，
∴AN

∥

.

CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴CN∥AM，
∴∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角．   
因为PA垂直于底面，所以PA⊥AM，
点M分别是DC的中点，DC=6，∴AM=3

5

．
在Rt△PAM中，PA=8，AM=3

5

，
∴tan∠PMA=

8

3 5

=

8 5

15

，
∴∠PMA=arctan

8 5

15

，
即异面直线PM与CN所成角的大小为arctan

8 5

15

．
解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
可得M（3，6，0），P（0，0，8），N（3，0，0），C（6，6，0），
∴

PM

=(3，6，-8)，

CN

=(-3，-6，0)，
直线PM与CN所成角为θ，向量

PM

与

CN

的夹角为?，
∵cos?=

PM • CN

| PM || CN |

=

-45

109 • 45

=-

3 545

109

，
又cosθ=|cos?|=

3 545

109

，θ=arccos

3 545

109

，
即异面直线PM与CN所成角的大小为arccos

3 545

109

．
（2）因为PA垂直于底面，所以PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，
又PA⊥BC，AB⊥BC，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．
同理CD⊥PD，∴Rt△PBC≌Rt△PAD，
∵底面四边形ABCD是边长为6的正方形，所以S_底=36
又S_侧=S_△PAB+S_△PAD+S_△PBC+S_△PCD=2×(

1

2

PA•AB)+2×(

1

2

PB•BC)=48+60=108．
S_表=108+36=144
所以四棱锥P-ABCD的表面积是144．

点评：本题综合考查了利用“平移法”和通过建立空间直角坐标系利用向量的方向向量的夹角求异面直线的夹角、线面垂直的判定与性质、四棱锥的表面积等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．