Question

（本小题满分10分）

已知点的序列A_n（x_n，0），n∈Ｎ^*，其中x_l＝0，x₂＝a（a＞0），A₃是线段A_lA₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n－2A_n－1的中点，…．

（1）写出x_n与x_n－1、x_n－2之间的关系式（n≥３）；

（2）设a_n＝x_n＋1－x_n，计算a_l，a₂，a₃，由此推测数列｛a_n｝的通项公式，并加以证明．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）当n≥3时，x_n=．…………………4分

 

（2）a₁=x₂－x₁=a，a₂=x₃－x₂=－x₂=－（x₂－x₁）=－a，

 

a₃=x₄－x₃=－x₃=－（x₃－x₂）=－（－a）=a，

 

由此推测：a_n=（－）^n－1a（n∈N^*）． …………………7分

 

证明如下：因为a₁=a＞0，且a_n=x_n+1－x_n=－x_n==－（x_n－x_n－1）

 

=－a_n－1（n≥2），所a_n=（－）^n－1a． …………………10分

 

【解析】略