题目内容

已知函数f(x)=
2
sin(2x+
π
4
)+m的图象经过点(
π
4
，2)．
（Ⅰ）求实数的m值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值及此时x的值的集合；
（III）求函数f（x）的单调区间．
分析：（Ⅰ） 由题意得 
2
sin（
3π
4
）+m=2，解得实数的m值．
（Ⅱ）当 sin(2x+
π
4
)=1时，f（x）的最大值为1+
2
，由2x+
π
4
=2kπ+
π
2
，求得 x值的集合．
（III）由 2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
 得到x的范围，就是函数的增区间，由2kπ+
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
3π
2
 得到 x的范围，就是函数的减区间．
解答：解：（Ⅰ） 由题意得   f(
π
4
)=2，
2
sin（
3π
4
）+m=2，解得 m=1．
（Ⅱ）由（I）得，f(x)=1+
2
sin(2x+
π
4
)，∴当 sin(2x+
π
4
)=1时，f（x）的最大值为1+
2
，
由sin(2x+
π
4
)=1，得 2x+
π
4
=2kπ+
π
2
，k∈z，故 x值的集合为{x|x=kπ+
π
8
，k∈Z}．
（III）由 2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
 得：kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
，
故增区间为  [kπ-
3π
8
，kπ+
π
8
]，k∈Z．同理由2kπ+
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
3π
2
，
得kπ+
π
8
≤x≤kπ+
5π
8
，故 减区间为 [kπ+
π
8
，kπ+
5π
8
]，k∈Z．
点评：本题考查求三角函数的最值，求三角函数的单调区间的方法，利用单调性求最值是解题的难点．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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