题目内容

设函数 $数学公式$
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）若 $数学公式$ ，求函数f（x）的值域．

解：（1） $\text{[math]}$ =2cos²x+ $\text{[math]}$ sin2x
= $\text{[math]}$ sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1
令 $\text{[math]}$ +2kπ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ，得kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，
因此，函数f（x）的单调减区间是[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈Z，
（2）当 $\text{[math]}$ 时，2x+ $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
∴2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，得y=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1∈[- $\text{[math]}$ +1，2]
即函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 的值域是[- $\text{[math]}$ +1，2]．
分析：（1）根据平面向量数量积的坐标运算公式，结合二倍角的三角公式化简整理，得f（x）═2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1．再根据正弦函数的单调区间的公式，解不等式可得函数f（x）的单调减区间；
（2）根据 $\text{[math]}$ 易得2x+ $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．结合正弦函数的图象与性质，得2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，由此不难得到函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 的值域．
点评：本题以平面向量的坐标运算为载体，着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．