Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率是，且左顶点与右焦点F的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线交椭圆C于A、B两点，A、B在右准线l上的射影分别为M、N．求证：AN与BM的交点在x轴上．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），由题意得，可得a，c，再由a²=b²+c²可得b；
（2）：①当AB垂直于x轴时，易证明；②当AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k（x-1），代入椭圆，得（4k²+3）x²-8k²x+（4k²-12）=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），写出直线AN、BM的方程联立，及韦达定理可求得AN与BM的交点，由其坐标可得结论；
解答：（1）解：设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
则由，得a=2，c=1，b²=3，
所以椭圆C的方程为；
（2）证明：①当AB垂直于x轴时，AB的坐标分别为，，AN与BM的交点为在x轴上．
②当AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
代入椭圆，得（4k²+3）x²-8k²x+（4k²-12）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则M（4，y₁），N（4，y₂），且，
∵直线AN方程是，直线BM方程是．
联立，得，消去y，得：．
即（x₁+x₂-8）x=x₁x₂-16，即，
把代入直线AN的方程，
得=，
∴AN与BM交于点是x轴上一定点．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的方程及性质，考查学生的运算求解能力，难度较大．