Question

 [番茄花园1] 如图，在多面体中，四边形是正方形，，，，，，为的中点.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求二面角的大小.

 

 

 

 

 

 

 

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 [番茄花园1]18.

Answer 1

【答案】

 [番茄花园1] (综合法)(Ⅰ)证：设与交于点，则为的中点.连、，

又为的中点，∴.又，∴.

∴四边形为平行四边形.

∴.而平面，∴平面.

(Ⅱ)证：由四边形是正方形，有.又，

∴.

而，∴平面.∴，.

又，为的中点，∴.

∴平面，∴.

又，∴.

又，，∴平面.

(Ⅲ)解：，，∴平面.

在平面内过点作交的延长线于，则为二面角的一个平面角.

设，则，，.

又，∴.∴.

，，∴.

(向量法)：

∵四边形为正方形，∴，又，

∴.

又，∴平面.

∴，∴.

又，为的中点，∴，∴平面.

以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示坐标系.

设，则，，，，，.

(Ⅰ)证：设与交于点，连、，则，

∴，又，∴.

平面，不在平面内，∴平面.

(Ⅱ)证：，，，∴.

设平面的法向量为，

则，，

∴，，即.

，.

设平面的法向量为，

则，，，，故.

，

∴，即二面角为.

 

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 [番茄花园1]18.