Question

已知圆，圆上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的倍，得一椭圆E，

(1)求椭圆E的方程，并证明椭圆E的离心率是与无关的常数；

(2)若m=1，是否存在直线过P(0，2)，与椭圆交于M、N两点，且满足=0(O为坐标原点)?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)设M(u，)是圆上任一点，N(，y)是椭圆上的对应点，

则=u，y=，即代入圆方程得．

即椭圆E的方程为，椭圆的长半轴为m，短半轴长为m,

半焦距为m.离心率与m无关。

(2)椭圆方程为．

假设存在直线：（k存在，且k≠0），代入椭圆方程．

整理，得(1+

    ∴△=()²－36(1+3)>0．

    解得<一1或>1．    ①

    设M(，)，  (，)，则+=－，=

∵

∴+=0

即+(k+2)(k+2)=0，∴(1+k² ) +2k(+)+4=0

∴

解得,满足式①，∴满足条件的直线存在，其方程为=