Question

已知

m

=(2sinx，2cosx)，

n

=(

3

cosx，cosx)，f(x)=

m

•

n

-1
（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的

1

3

，把所得到的图象再向右平移

π

12

单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，

π

12

]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值化简函数f（x）的解析式为2sin(2x+

π

6

)，由此求出它的最小正周期，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z 求得x的范围，即可求出单调增区间
（2）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求出g（x）的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求出g（x）的最大值．

解答：解：（1）∵f(x)=2

3

sinx•cosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，…（3分）
∴函数f（x）的最小正周期为T=π．…（4分）
又由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可得 kπ-

π

3

≤k≤kπ+

π

6

 ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．…（6分）
（2）根据条件得g(x)=2sin[6(x-

π

12

)+

π

6

]=2sin(6x-

π

3

)，…（9分）
当x∈[0，

π

12

]时，6x-

π

3

∈[-

π

3

，

π

6

]，-

3

2

≤sin(6x-

π

3

)≤

1

2

，…（11分）
所以当x=

π

12

时，g（x）_max=1．…（13分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．