Question

口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球,甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球,每次取出一个球,规则如下:若一方摸出一个红球,则此人继续下一次摸球;若一方摸出一个白球,则由对方接替下一次摸球,且每次摸球彼此相互独立,并由甲进行第一次摸球.

(1)求在前三次摸球中,甲摸得红球的次数ξ的数学期望;

(2)设第n次由甲摸球的概率为a_n,试建立a_n+1与a_n的递推关系.

Answer 1

解:(1)记“甲摸球一次摸出红球”为事件A,“乙摸球一次摸出红球”为事件B,则P(A)=P(B)=,P()=P()=,且A、B相互独立.据题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,且

P(ξ=0)=P(·B)+P(·B·)=×+()³=,

P(ξ=1)=P(A·)+P(··A)=×+×()²=,

P(ξ=2)=P(A·A·)=()²×=,

P(ξ=3)=P(A·A·A)=()³=,

∴Eξ=0×+1×+2×+3×=.

(2)据摸球规则可知,第n次由甲摸球包括如下两个事件:

①第n-1次由甲摸球,且摸出红球,其发生的概率为a_n-1×;

②第n-1次由乙摸球,且摸出白球,其发生的概率为(1-a_n-1)×.

∵上述两个事件互斥,

∴a_n=a_n-1+(1-a_n-1),

即a_n=a_n-1+(n≥2).