Question

已知函数f（x）=

1

3

x3+ax2+bx+c在x=1及x=3时取到极值．
（1）求实数a，b；
（2）若f（x）≥0在[0，4]上恒成立，求实数c的取值范围；
（3）若g（x）=f（x）-cx²在[0，4]上是增函数，求实数c的取值范围．

Answer 1

（1）由题意函数f（x）=

1

3

x3+ax2+bx+c在x=1及x=3时取到极值，可得x=1及x=3是f′（x）=0的两根
由于f′（x）=x²+2ax+b，故有

1+3=-2a 1×3=b

解得a=-2，b=3
（2）由（1）f（x）=

1

3

x3-2x2+3x+c，f′（x）=x²-4x+3
令导数大于0解得x＞3或x＜1，由导数小于0解得1＜x＜3，可得函数在[0，1]与[3，4]上是增函数，在[1，3]上是减函数，
故函数在[0，4]上的最小值可能为f（0）=c或，f（3）=c，
又f（x）≥0在[0，4]上恒成立，可得c≥0
（3）由题意g（x）=f（x）-cx²=

1

3

x3-(2+c)x2+3x+c，g′（x）=x²-（4+2c）x+3
又g（x）=f（x）-cx²在[0，4]上是增函数，故g′（x）=x²-（4+2c）x+3≥0在[0，4]上恒成立，
当x=0时，c∈R
当x＞0时，可变为4+2c≤x+

3

x

在[0，4]上恒成立，
由于x+

3

x

≥2

3

，等号当且仅当x=

3

x

，即x=

3

成立，
故有4+2c≤2

3

，解得c≤

3

-2