Question

（2013•枣庄一模）已知数列{a_n}中，a₁=1，{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若存在n∈N*，使得λ≤

n(n+1)

an

，求实数λ的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意利用an=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

可得a_n与a_n-1之间到递推关系，结合等比数列到通项公式可求a_n
（2）令bn=

n(n+1)

an

，然后进行判断数列{b_n}的单调性，然后由已知可得，λ≤

n(n+1)

an

 max}_max，可求

解答：解：（1）由题意可得，当n≥2时，2S_n-1=a_n，2s_n=a_n+1
两式相减可得，2a_n=a_n+1-a_n即a_n+1=3a_n
a₂=2a₁=2
∴{a_n}是从第二项开始到等比数列，公比q=3
n≥2时，an=a2•3n-2=2•3^n-2
∴an=

1，n=1 2•3n-2，n≥2

（2）令bn=

n(n+1)

an

则n≥2时，bn=

n(n+1)

2•3n-2

b_n+1-b_n=

(n+1)(n+2)

2•3n-1

-

n(n+1)

2•3n-2

=

(n+1)(n+2)-2n

2•3n-1

=

2(n+1)(1-n)

2•3n-1

＜0
当n≥2时，b_n+1＜b_n
{b_n}是从第二项开始的单调递减数列
而b2=

2×3

2

=3，b1=

1×2

a1

=2
由λ≤

n(n+1)

an

可得，λ≤

n(n+1)

an

 max}_max=3
∴λ的最大值为3

点评：本题主要考查两利用数列到递推公式求解数列到通项公式及等比数列到通项公式到应用，数列到单调性在数列到最值项求解中到应用，属于数列知识的简单应用