Question

已知函数f(x)=2^x-1的反函数为f^-1(x)，g(x)=log₄(3x+1)

(1)f^-1(x)；

(2)用定义证明f^-1(x)在定义域上的单调性；

(3)若f^-1(x)≤g(x)，求x的取值范围．

Answer 1

(1)解：函数f(x)的值域为(-1，+∞)，

由y=2^x-1得x=log₂(y+1),

所以f^-1(x)=log₂(x+1)(x＞-1) 

(2)证明：任取-1＜x₁＜x₂，

f^-1(x₁)-f^-1(x₂)=log₂(x₁+1)-log₂(x₂+1)=log₂

由-1＜x₁＜x₂得0＜x₁+1＜x₂+1，因此

0＜＜1得log₂＜0

所以f^-1(x₁)＜f^-1(x₂)

故f^-1(x)在(-1，+∞)上为单凋增函数．

(3)f^-1(x)≤g(x)即

log₂(x+1)≤log₄(3x+1)

解之得0≤x≤1，所以x的取值范围是[0，2].