Question

在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E、F、G分别为棱AA₁、A₁B₁、A₁D₁的中点.

(1)求证:平面EFG∥平面BC₁D;

(2)求平面EFG与平面BC₁D的距离.

Answer 1

(1)证法一:如图,连结B₁D₁,

∴B₁D₁∥BD.

∵E、F、G分别为A₁A、A₁B₁、A₁D₁的中点,∴FG∥B₁D₁.则FG∥BD,

∴FG∥平面BC₁D.

同理,EF∥DC₁.

∴EF∥平面BC₁D.

又∵EF∩FG=F,则平面EFG∥平面BC₁D.

证法二:连结A₁C,设A₁C与平面EFG、平面BC₁D的交点分别为O₁、O₂,根据三垂线定理易得A₁C⊥BD,A₁C⊥BC₁.

故直线A₁C⊥平面BC₁D.

同理可证A₁C⊥平面EFG.

∴平面EFG∥平面BC₁D.

(2)解析:由(1)可知,A₁C是平面EFG、平面BC₁D的公垂线,

∴线段O₁O₂的长度为平面EFG与平面BC₁D的距离,O₁O₂=A₁C-A₁O₁-CO₂.

在四面体C₁BCD中,连结C₁O₂并延长交BD于O,

∵正方体的棱长为a,故BC₁=.

在等边△BC₁D中,C₁O=,O₂为△BC₁D的中心,C₁O₂=C₁O,

∴C₁O₂=.

Rt△CC₁O₂中,CO₂=.

同理,在四面体A₁EFG中,A₁O₁=a.

又∵A₁C=a,

∴O₁O₂=a.

∴平面EFG与平面BC₁D的距离为a.