Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，A、B是抛物线C上异于坐标原点O的不同两点，抛物线C在点A、B处的切线分别为l₁、l₂，且l₁⊥l₂，l₁与l₂相交于点D．
（1）求点D的纵坐标；
（2）证明：A、B、F三点共线；
（3）假设点D的坐标为(

3

2

，-1)，问是否存在经过A、B两点且与l₁、l₂都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），利用导数求出切线的斜率，进而求出直线l₁、l₂的方程，通过解它们联立的方程组即可求得求点D的纵坐标；
（2）欲证明：A、B、F三点共线，只须证明它们的斜率k_AF=k_BF．相等即可，也就是要证明k_AF-k_BF=0即可，利用斜率公式结合点在抛物线上可证得；
（3）对于存在性问题，可假设存在，即假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M，再分别求出点A、B的坐标，最后求出|AD|和|BD|，看是否与题设矛盾，若不矛盾，则存在，否则不存在．

解答：（1）解：设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∵l₁、l₂分别是抛物线C在点A、B处的切线，
∴直线l₁的斜率k1=y′|_x=x1=

x1

p

，直线l₂的斜率k2=y′|_x=x2=

x2

p

．
∵l₁⊥l₂，∴k₁k₂=-1，得x₁x₂=-p²．①（2分）
∵A、B是抛物线C上的点，
∴y1=

x 2 1

2p

，y2=

x 2 2

2p

.
∴直线l₁的方程为y-

x 2 1

2p

=

x1

p

(x-x1)，直线l₂的方程为y-

x 2 2

2p

=

x2

p

(x-x2)．
由

y- x 2 1 2p = x1 p (x-x1) y- x 2 2 2p = x2 p (x-x2)

解得

x= x1+x2 2 y=- p 2

∴点D的纵坐标为-

p

2

．（4分）

（2）证：∵F为抛物线C的焦点，∴F(0，

p

2

)．
∴直线AF的斜率为kAF=

y1- p 2

x1-0

=

x 2 1 2p - p 2

x1

=

x 2 1 -p2

2px1

，
直线BF的斜率为kBF=

y2- p 2

x2-0

=

x 2 2 2p - p 2

x2

=

x 2 2 -p2

2px2

．
∵kAF-kBF=

x 2 1 -p2

2px1

-

x 2 2 -p2

2px2

（6分）=

x2( x 2 1 -p2)-x1( x 2 2 -p2)

2px1x2

=

x1x2(x1-x2)+p2(x1-x2)

2p x   1 x2

=

-p2(x1-x2)+p2(x1-x2)

2px1x2

=0．
∴k_AF=k_BF．
∴A、B、F三点共线．（8分）
（3）解：不存在．证明如下：
假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M，
依题意得MA⊥AD，MB⊥BD，且|MA|=|MB|，
由l₁⊥l₂，得AD⊥BD．
∴四边形MADB是正方形．
∴|AD|=|BD|．（10分）
∵点D的坐标为(

3

2

，-1)，
∴-

p

2

=-1，得p=2．
把点D(

3

2

，-1)的坐标代入直线l₁，得-1-

x 2 1

4

=

x1

2

×(

3

2

-x1)
解得x₁=4或x₁=-1，
∴点A的坐标为（4，4）或(-1，

1

4

)．
同理可求得点B的坐标为（4，4）或(-1，

1

4

)．
由于A、B是抛物线C上的不同两点，不妨令A(-1，

1

4

)，B（4，4）．
∴|AD|=

(-1- 3 2 )2+( 1 4 +1)2

=

125 16

，|BD|=

(4- 3 2 )2+(4+1)2

=

125 4

．（13分）
∴|AD|≠|BD|，这与|AD|=|BD|矛盾．
∴经过A、B两点且与l₁、l₂都相切的圆不存在．（14分）

点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等   突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高