题目内容
设函数
，且在闭区间
上，只有
（Ⅰ）试判断函数
的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程
在闭区间
上的根的个数，并证明你的结论.
⑴既不是偶函数，也不是奇函数，⑵802个
解析:
（Ⅰ）方法一：若
是偶函数，则
于是有
，这与在闭区间
上，只有
矛盾
故不是偶函数；
若是奇函数，则
，这与在闭区间上，只有矛盾，故若不是奇函数
所以既不是偶函数，也不是奇函数
方法二：因为在闭区间上，只有故
，即不是奇函数
又由
知，
，而
，所以
，又
所以
，可见不是偶函数
所以既不是偶函数，也不是奇函数
（Ⅱ）方法一：因为
所以
，即
所以
，即
又，所以
和
都是方程
的根
由
和
及
得到
故方程在闭区间
上的根至少有802个
如果存在
使得
，则
但
，这与在闭区间上，只有矛盾
故在
上只有两个根，即
和
设
是方程在闭区间上任意一个根，则存在整数
，使得
，且
由上可知
或
，所以
或
（）
所以故方程在闭区间上仅有802个根
方法二：由
知是周期为10的函数，
由
知的图象关于直线
对称
又因为在上仅有所以在
上没有根
即在上只有两个根，即和
于是，在
内只有400个根，在
上仅有2个根，在
内仅有400个根，在
上没有根。
所以故方程在闭区间上仅有802个根
练习册系列答案
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，且在闭区间[0，7]上，只有
的奇偶性；
在闭区间[－2010，2010]上的根的个数，并证明你的结论.
在
上满足
，且在闭区间
上，
仅有两个根
和
，则方程
上根的个数有