Question

（2009•嘉定区二模）设等比数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，公比q=

λ

1+λ

（λ≠-1且λ≠0）．
（1）证明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（2）设f(x)=

x

1+x

，数列{b_n}满足b₁=f（1），b_n=f（b_n-1）（n∈N*且n≥2），求数列{b_n}的通项公式及

lim

n→∞

1

n2

(

1

b1

+

1

b2

+…

1

bn

)的值．

Answer 1

分析：（1）由已知q≠0且q≠1，利用等比数列的通项公式可得an=(

λ

1+λ

)n-1，利用等比数列的求和公式可证
（2）由bn=

bn-1

1+bn-1

，可得

1

bn

=

1

bn-1

+1，从而可得{

1

bn

}是等差数列，从而可求b_n，利用等差数列的求和公式可求

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2+3+…+(n+1)=

n2+3n

2

，从而可求极限

解答：证明：（1）由已知q≠0且q≠1，所以an=(

λ

1+λ

)n-1（n∈N*），…（1分）
所以Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

1-( λ 1+λ )n

1- λ 1+λ

=(1+λ)[1-(

λ

1+λ

)n]=(1+λ)-λ(

λ

1+λ

)n-1，（5分）
即S_n=（1+λ）-λa_n．…（6分）
（2）由已知b1=

1

2

，bn=

bn-1

1+bn-1

，所以

1

bn

=

1

bn-1

+1，…（8分）
所以，{

1

bn

}是首项为2，公差为1的等差数列，

1

bn

=2+(n-1)=n+1，…（9分）
所以数列{b_n}的通项公式为bn=

1

n+1

．…（10分）
所以

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2+3+…+(n+1)=

n2+3n

2

，…（12分）
所以

lim

n→∞

1

n2

(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

)=

lim

n→∞

n2+3n

2n2

=

1

2

．…（14分）

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及等比数列的求和公式的应用，利用递推公式构造等差数列，及等差数列的求和公式等知识的综合应用，属于公式的综合运用．