Question

已知函数f(x)=

x+b

1+x2

为奇函数．
（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
（II）解关于x的不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0．

Answer 1

分析：（I）根据函数为R上的奇函数，得到f（0）=0，即b=0，所以函数解析式为：f(x)=

x

x2+1

．然后用求导数的方法研究其单调性，根据它的导数f'（x）在区间（1，+∞）上为负数，得到函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
（II）首先移项，得到不等式f（1+2x²）＞-f（-x²+2x-4）．根据函数为奇函数，将原不等式化为：f（1+2x²）＞f（x²-2x+4）．注意到括号里的两个自变量都是不小于1的实数，从而结合函数在区间（1，+∞）上为减函数，得到1+2x²＜x²-2x+4，解之得-3＜x＜1．从而得到原不等式的解集．

解答：解：（I）∵函数f(x)=

x+b

1+x2

为定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，即b=0，
∴函数解析式为：f(x)=

x

x2+1

．
∴对f（x）求导数，得f′(x)=

(x2+1)-x•2x

(x2+1)2

=

1-x2

(x2+1)2

．
∵当x＞1时，f′(x)=

1-x2

(x2+1)2

＜0成立，
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
（II）由f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0，得f（1+2x²）＞-f（-x²+2x-4）．
∵f（x）是奇函数，
∴-f（-x²+2x-4）=f（x²-2x+4）．
原不等式化为：f（1+2x²）＞f（x²-2x+4）．
又∵1+2x²≥1，x²-2x+4=（x-1）²+3＞1，且f（x）在[1，+∞）上为减函数，
∴1+2x²＜x²-2x+4，即x²+2x-3＜0，
解之得-3＜x＜1．
∴不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0的解集是{x|-3＜x＜1}

点评：本题以一个分式函数为例，着重研究其单调性和奇偶性，考查了函数奇偶性与单调性的综合、一元二次不等式的解法等知识点，属于中档题．