Question

函数y=2cos2x+4cosx-1（-

2π

3

≤x≤

π

2

）的值域是______．

Answer 1

由二倍角的余弦公式可得y=2（2cos²x-1）+4cosx-1
=4cos²x+4cosx-3=（2cosx+1）²-4，
∵-

2π

3

≤x≤

π

2

，∴t=cosx∈[-1，1]，
故原函数可化为y=（2t+1）²-4，
函数为开口向上，对称轴为t=-

1

2

的抛物线一段，
故函数在[-1，-

1

2

]单调递减，在[-

1

2

，1]单调递增，
故当t=-

1

2

时，函数取最小值y_min=-4，
当t=1时，函数取最大值y_max=5
故函数的值域为[-4，5]
故答案为：[-4，5]