Question

已知f(x)=

a2x-1

2x+1

(a∈R)，是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函数；
（3）对任意的k∈（0，+∞）解不等式f-1(x)＞log2

1+x

k

．

Answer 1

分析：（1）由题知奇函数在R上有定义，故图象过原点，所以f（0）=0，解得a=1；
（2）令y=

a2x-1

2x+1

(a∈R)，依据反函数的定义解出f（x）的反函数的表达式．
（3）由（2）知f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)由此知两边底数一致，故可以用相关函数的单调性进行转化．

解答：解：（1）由题知f（0）=0，得a=1，
此时f(x)+f(-x)=

2x-1

2x+1

+

2-x-1

2-x+1

=

2x-1

2x+1

+

1-2x

1+2x

=0，
即f（x）为奇函数．
（2）∵y=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，得2x=

1+y

1-y

(-1＜y＜1)，
∴f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)．
（3）∵f-1(x)＞log2

1+x

k

，∴

1+x 1-x ＞ 1+x k -1＜x＜1

，∴

x＞1-k -1＜x＜1

，
①当0＜k＜2时，原不等式的解集{x|1-k＜x＜1}，
②当k≥2时，原不等式的解集{x|-1＜x＜1}．

点评：本题考点是反函数，考查反函数解析式的求法以及解对数不等式，反函数的求法用反函数的定义，解对数不等式要根据对数的单调性进行转化．