Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD.

(1)求证：CD⊥平面PAC；

(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由.

Answer 1

方法一：

(1)因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.

又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，

所以PA⊥底面ABCD.

而CD⊂底面ABCD，

所以PA⊥CD.

在底面ABCD中，因为∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD，

所以AC＝CD＝AD，所以AC⊥CD.

又因为PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.

(2)在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD，

证明如下：设PD的中点是F，

连结BE，EF，FC，

则EF∥AD，且EF＝AD.

由已知BC∥AD.又BC＝AD，

所以BC∥EF，且BC＝EF，

所以四边形BEFC为平行四边形，所以BE∥CF.

因为BE平面PCD，CF⊂平面PCD，

所以BE∥平面PCD.

方法二：

因为∠PAD＝90°，

所以PA⊥AD.

又因为侧面PAD⊥底面ABCD，

且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，

所以PA⊥底面ABCD.

又因为∠BAD＝90°，

所以AB，AD，AP两两垂直.

分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图

设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1).

(1)＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)，

所以·＝0，·＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD.

又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.

(2)在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD，则E(0,0，)，＝(－1,0，).设平面PCD的一个法向量是n＝(x，y，z)，则.

因为＝(－1,1,0)，＝(0,2，－1)，

所以.取x＝1，则n＝(1,1,2).

所以n·＝(1,1,2)·(－1,0，)＝0，

所以n⊥.

因为BE平面PCD，所以BE∥平面PCD.