题目内容

已知数列{an}满足a1=0，a2＝1，当n∈N*时，an+2=an+1+an.求证:数列{an}的第4m+1项?(m∈N*)?能被3整除.

证明：(1)当m=1时,?

a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)?

=(a2+a1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3,?

即当m=1时,第4m+1项能被3整除.?

(2)假设当m=k时,a4k+1能被3整除,则当m=k+1时,?

a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2?

=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.?

显然,3a4k+2能被3整除,又由假设知a4k+1能被3整除.?

∴3a4k+2+2a4k+1能被3整除,?

即当m=k+1时,a4(k+1)+1也能被3整除.?

由(1)和(2)知,对于n∈N*,数列{an}中的第4m+1项能被3整除.

练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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