题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ +b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数
（1）求实数b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）当x∈（0，+∞）时，求函数y=f（x）+ $数学公式$ 的值域．

解：（1）∵定义域为R，
∴f（0）=0，∴b=- $\text{[math]}$ ；

（2）是单调递增函数．
∵定义域为R，∴任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵0＜a＜1，∴a^x₁＞a^x₂，a^x₂-a^x₁＜0，（a^x₁+1）（a^x₂+1）＞0
，∴ $\text{[math]}$ ＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）= $\text{[math]}$ ，（0＜a＜1）是单调递增函数

（3）y=g（t）=t+ $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ ≤a＜1时，y=g（t）在 $\text{[math]}$ 单调递减，
值域： $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，y=g（t）=t+ $\text{[math]}$ ，
当且仅当t= $\text{[math]}$ 时，y_min=2 $\text{[math]}$ ，
值域： $\text{[math]}$ ．
分析：（1）因为函数f（x）= $\text{[math]}$ +b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数，利用函数的定义域为R时，奇函数在0处有定义则f（0）=0即可解的b的值；
（2）由题意利用函数的单调性的定义加以判断；
（3）由题意先求出函数y=f（x）+ $\text{[math]}$ 的解析式，利用“对勾”函数的单调性求出定义域下的函数值域．
点评：此题考查了奇函数的性质，函数的单调性的定义，还考查了“对勾”函数的单调性及已知函数的定义域求解函数的值域．