Question

数列中，a_n＞0，a_n≠1，且an+1=

3an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）证明：a_n≠a_n+1；
（2）若a1=

3

4

，计算a₂，a₃，a₄的值，并求出数列的通项公式；
（3）若a₁=a，求实数p（p≠0），使得数列{

p+an

an

}成等比数列．

Answer 1

分析：（1）采用反证法证明，先假设a_n=a_n+1，代入an+1=

3an

2an+1

化简后，可求出a_n的值与a_n＞0，a_n≠1矛盾，所以假设错误，原结论正确；
（2）把n=1代入an+1=

3an

2an+1

中，由a₁的值即可求出a₂的值，把n=2代入an+1=

3an

2an+1

中，由a₂的值即可求出a₃的值，把n=4代入an+1=

3an

2an+1

中，由a₃的值即可求出a₄的值，把已知的等式去分母后，在变形后的式子等号两边都除以3a_na_n+1，变形后得到数列{

1

an

-1}是等比数列，找出首项和公比写出此等比数列的通项公式，化简后即可得到数列的通项公式a_n；
（3）设数列{

p+an

an

}成等比数列，公比为q，根据等比数列的定义可知第n+1项与第n项的比值等于公比q，化简后根据p不为0，利用多项式为0时，各项的系数都为0即可求出p与q的值．

解答：解：（1）若a_n=a_n+1，即

3an

2an+1

=an，
得a_n=0或a_n=1与题设矛盾，
∴a_n≠a_n+1；
（2）由a₁=

3

4

，令n=1得：a₂=

3× 3 4

2× 3 4 +1

=

9

10

，
令n=2得：a₃=

3× 9 10

2× 9 10 +1

=

27

28

，令n=3得：a₄=

3× 27 28

2× 27 28 +1

=

81

82

，
由

1

an+1

=

1

3

(

1

an

)+

2

3

，得

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
∴数列{

1

an

-1}是首项为

1

a1

-1=

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，
∴

1

an

-1=(

1

3

)n，得an=

3n

3n+1

；
（3）设数列{

p+an

an

}成等比数列，公比为q，
则

p+an+1 an+1

p+an an

=

(2p+3)an+p

3(p+an)

=q，
即（2p-3q+3）a_n=3pq-p，
由p≠0，∴a_n不是常数列，
∴

2p-3q+3=0 p(3q-1)=0

，

p=-1 q= 1 3

，
此时，{

p+an

an

}是公比为

1

3

的等比数列．

点评：此题考查学生会利用反证法进行证明，掌握等比数列的确定方法，灵活运用等比数列的通项公式及数列的递推式化简求值，是一道中档题．