Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是四棱柱，底面ABCD是菱形，AA₁⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=60°，E是AA₁的中点．
（1）求证：平面BD₁E⊥平面BB₁D₁D；
（2）若四面体D₁-ABE的体积V=1，求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

Answer 1

分析：（1）设平面BD₁E∩CC₁=F，连接BF，由已知中ABCD-A₁B₁C₁D₁是四棱柱，底面ABCD是菱形，AA₁⊥底面ABCD，我们结合直四棱柱的几何特征得到△D₁A₁E≌△BCF，连接A₁C₁、B₁D₁，可以得到AA₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥BB₁，进而由线面垂直的判定定理得到EF⊥平面BB₁D₁D，再由线面垂直的性质，可得平面BD₁E⊥平面BB₁D₁D；
（2）因为AA₁⊥底面ABCD，所以AA₁是棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高，我们求出三角形ABE的面积，结合四面体D₁-ABE的体积V=1，我们易求出AA₁的值，即棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

解答：解：（1）设平面BD₁E∩CC₁=F，连接BF，则△D₁A₁E与△BCF的对应边互相平行（1分），
且A₁D₁=BC，所以△D₁A₁E≌△BCF（2分），
F是CC₁的中点（3分），
连接A₁C₁、B₁D₁，因为AA₁⊥底面ABCD，所以AA₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥BB₁（4分），
ABCD是菱形，A₁C₁⊥B₁D₁，且BB₁∩B₁D₁=B₁，所以A₁C₁⊥面BB₁D₁D（5分），
因为E、F分别是AA₁、CC₁的中点，所以A₁EFC₁是矩形，EF∥A₁C₁，所以EF⊥平面BB₁D₁D（6分），
EF?平面BD₁E（即平面BFD₁E），所以，面BD₁E⊥面BB₁D₁D（7分）．
（2）因为AA₁⊥底面ABCD，所以AA₁是棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高（8分），
AA₁?平面ABB₁A₁，平面ABB₁A₁⊥底面ABCD（9分），
在底面A₁B₁C₁D₁上作D₁F⊥A₁B₁，垂足为F，面ABB₁A₁∩面A₁B₁C₁D₁=A₁B₁，所以D₁F⊥面ABB₁A₁（10分），
所以V=

1

3

×S△ABE×D1F（11分），
其中S△ABE=

1

2

×AE×AB=AE=

1

2

AA1，D1F=A1D1×sin60o=

3

（12分），
所以V=

1

3

×

1

2

AA 1×

3

=1（13分），
解得AA 1=2

3

，即棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为2

3

（14分）．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，熟练掌握棱柱的几何特征，结合已知条件找出证明线面垂直及面面垂直的条件是解答本题的关键．