题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
1
2
，且经过点A（2，3）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AO（O是坐标原点）与椭圆C相交于点B，试证明在椭圆C上存在不同于A、B的点P，使AP2=AB2+BP2（不需要求出点P的坐标）．
（1）依题意，e=
c
a
=
a2-b2
a
=
1
2
，
从而b2=
3
4
a2，
点A（2，3）在椭圆上，所以
4
a2
+
9
b2
=1，
解得a2=16，b2=12，
椭圆C的方程为
x2
16
+
y2
12
=1，
（2）若AP2=AB2+BP2成立，则必有∠ABP=90°，即AB⊥BP，
由椭圆的对称性知，B（-2，-3），
由AB⊥BP，kAB=
3
2
知kBP=-
2
3
，
所以直线BP的方程为y+3=-
2
3
(x+2)，即2x+3y+13=0，
由
x2
16
+
y2
12
=1
2x+3y+13=0
，
得43y2+234y+315=0，
△=2342-4×43×315＞0，
所以直线BP与椭圆C有两个不同的交点，
即在椭圆C上存在不同于A、B的点P，使AP2=AB2+BP2．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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