Question

（2013•兰州一模）数列{a_n}满足a₁=1，a₂=

2

3

，且

1

an-1

+

1

an+1

=

2

an

（n≥2），则a_n=（　　）

• A．

  2

  n+1

• B．

  2

  n+2

• C．(

  2

  3

  )n
• D．(

  2

  3

  )n-1

Answer 1

分析：由题意将题中等式变形为

1

an+1

-

1

an

=

1

an

-

1

an-1

（n≥2），得到数列{

1

an

}构成等差数列．再求出{

1

an

}的首项和公差d，结合等差数列通项公式即可求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：∵数列{a_n}中，

1

an-1

+

1

an+1

=

2

an

（n≥2），
∴

1

an+1

-

1

an

=

1

an

-

1

an-1

（n≥2），
因此，数列{

1

an

}构成等差数列
∵a₁=1，a₂=

2

3

，
∴

1

a1

=1，

1

a2

-

1

a1

=

3

2

-1=

1

2

即等差数列{

1

an

}的首项为1，公差d=

1

2

∴

1

an

=1+

1

2

（n-1）=

n+1

2

，可得a_n=

2

n+1

（n=1时也成立）　　
故选：A

点评：本题求一个数列的通项公式，着重考查了等差数列的通项、数列递推式的研究等知识，属于中档题．