Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和S_n满足Sn=

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(an+1)(an+2)，并且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_2n．

Answer 1

分析：（1）根据Sn=

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(an+1)(an+2)可类比的得到Sn-1=

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(an-1+1)(an-1+2)，然后两式相减得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，再由{a_n}的各项均为正数，可得到a_n-a_n-1=3，再由等差数列的通项公式法可得到答案．
（2）先根据b_n=（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1，可得到T_2n=b₁+b₂+…+b_2n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，再由等差数列的前n项和公式可得到答案．

解答：解：（1）∵对任意n∈N*，有Sn=

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(an+1)(an+2)①当n≥2时，
有Sn-1=

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(an-1+1)(an-1+2)②
当①-②并整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
而{a_n}的各项均为正数，所以a_n-a_n-1=3．
∴当n=1时，有S1=a1=

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(a1+1)(a1+2)，解得a₁=1或2，
当a₁=1时，a_n=1+3（n-1）=3n-2，此时a₄²=a₂a₉成立；
当a₁=2时，a_n=2+3（n-1）=3n-1，此时a₄²=a₂a₉不成立；舍去．
所以a_n=3n-2，n∈N*，
（2）T_2n=b₁+b₂+…+b_2n
=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-6a₂-6a₄-…-6a_2n=-6（a₂+a₄+…+a_2n）
=-6×

n(4+6n-2)

2

=-18n2-6n．

点评：本题主要考查数列递推关系式的应用和等差数列的求和公式的应用．考查综合运用能力．