Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，满足S_n=6-2a_n+1（n∈N^*），
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式；
（3）用数学归纳法证明（2）的猜想．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，分别令n=2和n=3，4，能够得到a₂，a₃，a₄的值
（2）由前几项猜想猜想an=

3

2n-1

（n∈N^*）；
（3）先证n=1时，命题成立；再利用假设及递推关系证明n=k+1时，命题成立．

解答：解：（1）因为a₁=3，且S_n=6-2a_n+1（n∈N^*），所以S₁=6-2a₂=a₁=3
解得a2=

3

2

，…（理（2分），文3分）
又S2=6-2a3=a1+a2=3+

3

2

，
解得a3=

3

4

…（理（3分），文6分）
S3=6-2a4=a1+a2+a3=3+

3

2

+

3

4

，
所以有a4=

3

8

…（理（5分），文9分）
（2）由（1）知a₁=3=

3

20

，a2=

3

2

=

3

21

，a3=

3

4

=

3

22

，a4=

3

8

=

3

23

猜想an=

3

2n-1

（n∈N^*）…（理（9分），文14分）
（3）①由（1）已得当n=1时，命题成立；…（理10分）
②假设n=k时，命题成立，即 a_k=

3

2k-1

，…（理11分）
当n=k+1时，S_k=6-2a_k+1（k∈N^*）a₁+a₂+…+a_k=6-2a_k+1
即3+

3

2

+

3

4

+…+

3

2k-1

=6-2a_k+1
a_k+1=

3

2k

，
即当n=k+1时，命题成立．…（理13分）
根据①②得n∈N⁺，a_n=

1

2n-1

都成立…（理14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意数列递推式的合理运用，考查数学归纳法思想的运用．