Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为AA₁，CC₁的中点，AC⊥BC，点F在线段AB上，且AB=4AF．
（Ⅰ）求证：BC⊥C₁D；
（Ⅱ）若M为线段BE上一点，BE=4ME求证：C₁D∥平面B₁FM．

Answer 1

（Ⅰ）由直三棱柱可知CC₁⊥平面ABC，所以CC₁⊥AC，…（2分）
又因为AC⊥BF，CC₁∩BF=F，AC⊥面BCF，
故AC⊥BC，…（4分）
又在直三棱柱中，CC₁⊥BC，CC₁∩AC=C，
故BC⊥面AC₁C，C₁D在平面ACC₁内，所以BC⊥C₁D；  …（6分）
（Ⅱ）连结FM，B₁M，FB₁在△BEA中，由BE=4ME，AB=4AF，所以MF∥AE，
又在面AA₁C₁C中，易证C₁D∥AE，所以C₁D∥平面B₁FM．    …（14分）