Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0．且a₂，a₅，a₁₄分别是等比数列{b_n}的b₁，b₂，b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{C_n}对任意自然数n均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析：（1）由a₂，a₅，a₁₄成等比数列可得关于公差d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a_n，由b₁=a₂=3，b₂=a₅=9得公比q，利用等比数列通项公式可得b_n；
（2）

C1

3

+

C2

32

+…+

Cn

3n

=2n+1，得n≥2时，

C1

3

+

C2

32

+…+

Cn-1

3n-1

=2n-1，两式作差可得

Cn

3n

=2，从而求得Cn=2•3n（n≥2），易求C₁=9，由{C_n}的通项公式及等比数列求和公式可得答案；

解答：解：（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1，
又b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，
∴q=3，bn=3•3n-1=3n；
（2）

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，即

C1

3

+

C2

32

+…+

Cn

3n

=2n+1①，
则n≥2时，

C1

3

+

C2

32

+…+

Cn-1

3n-1

=2n-1②，
①-②得，

Cn

3n

=2，所以Cn=2•3n（n≥2），
n=1时，C₁=9，
所以Cn=

2•3n，n≥2 9，n=1

，
所以c₁+c₂+…+c₂₀₁₃=9+2•3²+2•3³+…+2•3²⁰¹³
=9+2•

32(1-32012)

1-3

=3²⁰¹⁴；

点评：本题考查数列求和、等差等比数列的通项公式，考查学生的推理论证能力、运算求解能力．