Question

本小题满分12分

           的内切圆与三边的切点分别为，已知，内切圆圆心，设点的轨迹为.

   （1）求的方程；

   （2）过点的动直线交曲线于不同的两点（点在轴的上方），问在轴上是否存在一定点（不与重合），使恒成立，若存在，试求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【解】（1）设点，由题知

，根据双曲线定义知，点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支（除去点），故的方程为. …4分

   （2）设点.

      

 ，   　 ……………………… 6分

①当直线轴时，点在轴上任何一点处都能使得成立.  　　　                                            ………………………7分

       ②当直线不与轴垂直时，设直线，由 得

              　　　　　　　      …………… 9分

      

       ，使，只需成立，即，即，

       ，即

 ，故，故所求的点的坐标为时，恒成立.      　　　　　　　 ………………………12分