题目内容

已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n≥1）且a₁=9，前n项和为S_n，则满足 $数学公式$ 的最小整数n是________．

7
分析：对3a_n+1+a_n=4（n≥1）变形得3[a_n+1-1]=-（a_n-1）， $\text{[math]}$ ，a_n=8×（- $\text{[math]}$ ）^（n-1）+1，由此能求出 $\text{[math]}$ 的最小整数n．
解答：对3a_n+1+a_n=4（n≥1）变形得：
3[a_n+1-1]=-（a_n-1），
$\text{[math]}$ ，
a_n=8×（- $\text{[math]}$ ）^（n-1）+1，
S_n=8{1+（- $\text{[math]}$ ）+（- $\text{[math]}$ ）²+…+（- $\text{[math]}$ ）^（n-1）]+n
=6-6×（- $\text{[math]}$ ）ⁿ+n，
|S_n-n-6|=|-6×（- $\text{[math]}$ ）ⁿ|＜ $\text{[math]}$ ．
故：n=7．
故答案为：7．
点评：本题考查数列与不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

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