Question

已知函数.

（Ⅰ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）当时，证明：

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）、（3）见解析.

【解析】本题重点考查了导函数的求法、利用导数研究函数单调性、最值的求法等，要熟练掌握导数的应用：（1）求斜率：在曲线的某点有切线，则求导后把横坐标代进去，则为切线的斜率；（2）单调性的判断：，单调递增，，单调递减.要熟练一些函数单调性的方法.

解：（Ⅰ）在[1，2]上恒成立.

令，有得 ，得.

（Ⅱ）假设存在实数，使有最小值3,

①当时，在上单调递减，（舍去），

②当时，在上单调递减，在上单调递增

∴，满足条件.

③当时，在上单调递减，（舍去），

综上，存在实数，使得当时有最小值3.

(Ⅲ)令，由（2）知，.令，

当时，在上单调递增

∴    

∴即