Question

已知函数f(x)=cos(2x-

2π

3

)-cos2x  (x∈R)
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(

B

2

)=-

3

2

，b=1，c=

3

，且a＞b，试求角B和角C．

Answer 1

分析：（1）将f（x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，x∈Z列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递增区间；
（2）由（1）确定的f（x）解析式，及f（

B

2

）=-

3

2

，求出sin（B-

π

3

）的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由a大于b得到A大于B，检验后即可得到满足题意B和C的度数．

解答：解：（1）f（x）=cos（2x-

2π

3

）-cos2x=

3

2

sin2x-

3

2

cos2x=

3

sin（2x-

π

3

），
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，x∈Z，解得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，x∈Z，
则函数f（x）的递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，x∈Z；
（2）∵f（B）=

3

sin（B-

π

3

）=-

3

2

，∴sin（B-

π

3

）=-

1

2

，
∵0＜B＜π，∴-

π

3

＜B-

π

3

＜

2π

3

，
∴B-

π

3

=-

π

6

，即B=

π

6

，
又b=1，c=

3

，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：sinC=

csinB

b

=

3

2

，
∵C为三角形的内角，
∴C=

π

3

或

2π

3

，
当C=

π

3

时，A=

π

2

；当C=

2π

3

时，A=

π

6

（不合题意，舍去），
则B=

π

6

，C=

π

3

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．