Question

定义在[-1，1]上的偶函数f（x），已知当x∈[0，1]时的解析式为f（x）=-2^2x+a2^x （a∈R）．
（1）求f（x）在[-1，0]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值h（a）．

Answer 1

分析：（1）设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，由已知表达式可求得f（-x），根据偶函数的性质可得f（x）=f（-x），从而得到答案；
（2）令t=2^x，则t∈[1，2]，则原函数变为关于t的二次函数，按照对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论即可求得最大值h（a）．

解答：解：（1）设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，f（-x）=-2^-2x+a•2^-x，
又f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）=-2^-2x+a•2^-x，
故f（x）=-2^-2x+a•2^-x，x∈[-1，0]．
（2）f（x）=-2^2x+a•2^x，x∈[0，1]．令t=2^x，则t∈[1，2]，
所以g（t）=at-t²=-(t-

a

2

)2+

a2

4

，
①当

a

2

＜1，即a＜2时，h（a）=g（1）=a-1；
②当1≤

a

2

≤2，即2≤a≤4时，h（a）=g（

a

2

）=

a2

4

；
③当

a

2

＞2，即a＞4时，h（a）=g（2）=2a-4．
综上所述，h（a）=

a-1，a＜2 a2 4 ，2≤a≤4 2a-4，a＞4

．

点评：本题考查函数奇偶性的应用及二次函数在闭区间上的最值问题，考查分类讨论思想，属中档题．